maximaでのテイラー展開にはtaylor関数を使います。

taylor関数の書式
taylor(式,x,a,n)

式において、変数xのaのまわりのテイラー級数を(x-a)^nまで展開します。

taylor関数の例
(%i1) taylor(sin(x),x,0,5);
(%o1) x−x^3/6+x^5/120+...

(%i2) taylor(sin(x),x,0,10);
(%o2) x−x^3/6+x^5/120−x^7/5040+x^9/362880+.

(%i3) taylor(x/(1-x-x^2),x,0,5);
(%o3) x+x^2+2*x^3+3*x^4+5*x^5+...


最後の例はフィボナッチ関数の母関数です。
テイラー展開すると係数にフィボナッチ数が現れています。