この項ではシンプソン則を導きます。
シンプソン則はwikipediaにあります。
情報処理の試験にも出てきますが、この係数がどうやって出てくるのか疑問だったので
maximaでプログラムを書きました。

シンプソン則を導く
/* 区間x1,x2を2等分 */
h:(x1+x2)/2;
/* 2次式で近似。係数を求める */
f(x):=a*(x-h)^2+b*(x-h)+c;
solve([fx1=f(x1),fh=f(h),fx2=f(x2)],[a,b,c]);
/* ここでa,b,cの値が求まる */
ansa:(2*fx2+2*fx1-4*fh)/(x2^2-2*x1*x2+x1^2);
ansb:-(fx1-fx2)/(x2-x1);
ansc:fh;
/* 今度は求めた係数を変数とみなす */
g(a,b,c):=f(x);
/* 求めた係数を代入して整理 */
factor(integrate(g(ansa,ansb,ansc),x,x1,x2));
/* ((fx2+fx1+4*fh)*(x2-x1))/6 */
/* これはシンプソン則の係数になっている */
/* 定数 * (fx1+fx2+4*fh) */